情報･知識
Do you happen to know her phone number?
もしかして彼女の電話番号をご存知ですか。
I don't suppose you know her name.
彼女の名前をご存知ではないですよね。
これも控えめに尋ねる表現で、特に相手が"No"と答えるだろうと思うときに使います。
"I don't suppose ..."は丁寧に依頼をするときにも使います。
I don't suppose you'd take me to the airport?
（空港まで送っていただくのは無理でしょうか）
I have no clue.
さっぱり分からない。
"clue"は「手がかり」や「かぎ」、「ヒント」に相当する語です。"I don't have a clue."や"I haven't got a clue."とも言います。
後にwh-節を続けることもできます。
I have no clue what he is talking about.
（彼が何の話をしているのか見当もつかない）
Beats me.
分からないよ。
"It beats me."の"It"を省略したもので、知らないときや理解できないときに使うくだけた表現です。
これも、後にwh-節を続けることができます。
Beats me why she did it.
（彼女がどうしてそんなことをしたのか分からない）
"Do [Would] you happen to know ..."は、単なる"Do you know ..."よりも控えめな尋ね方です。"happen to do"自体は「偶然…する」という意味。
これをより丁寧にした"You don't [wouldn't] happen to know ..., do [would] you?"という言い方もあります。
You don't happen to know where he is, do you?
（彼がどこにいるのかご存知ではないですよね）